Oscilador Armonico Simple

La energía cinética de una partícula es Ec = 1/2 mv² = 1/2 mw²A²cos²(wt +f₀), o en función del desplazamiento 

E_c = 1/2 mw²(A²- x²)

Energía potencial

Recordando que F = -dEp/dx y que F = -Kx se obtiene que dEp/dx = Kx

Integrando y eligiendo el cero de la energía potencial en la posición de equilibrio (x=0):

 

La energía potencial es mínima en la posición de equilibrio y máxima en los extremos x=±A

Sumando la energía cinética y potencial se obtiene la siguiente expresión:

E =Ec +Ep = 1/2 mw²(A²- x²) + 1/2 mw² x² = 1/2 mw²A² = 1/2Kx²

Durante la oscilación, como muestra el diagrama, hay un intercambio de energía cinética y potencial, manteniéndose la energía total constante ya que se trata de una fuerza conservativa. La figura muestra una energía total de 15 unidades correspondientes a la línea horizontal negra. La línea vertical roja muestra la diferencia entre la energía total y la potencial (indicada por la línea discontinua sobre el eje de abcisas) y por tanto corresponde a la energía cinética. Los límites de oscilación están determinados por sus intersecciones con la curva de energía potencial y corresponden a los puntos ±A. En la dirección https://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm  podemos dar valores a la energía.

Curvas de energía potencial

Representación de la curva de la energía potencial de una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k, E_p=kx²/2.

    Esta función representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es E_p=0.

    Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero E_k>=0. O bien, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=E_p. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

    La intensidad y el sentido de la fuerza viene dado por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

    En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

    Durante la oscilación hay un intercambio de energía cinética y potencial, manteniéndose la energía total constante ya que se trata de una fuerza conservativa

 

 

La energía mecánica puede manifestarse de diversas maneras.

La energía mecánica es la que se debe a la posición y al movimiento de un cuerpo. Para sistemas abiertos formados por partículas que interactúan mediante fuerzas puramente mecánicas o campos conservativos la energía se mantiene constante con el tiempo:

.

Es importante notar que la energía mecánica así definida permanece constante si únicamente actúan fuerzas conservativas sobre las partículas. Sin embargo existen ejemplos de sistemas de partículas donde la energía mecánica no se conserva:

§ Sistemas de partículas cargadas en movimiento. En ese caso los campos magnéticos no derivan de un potencial y la energía mecánica no se conserva, ya que parte de la energía mecánica "se convierte" en energía del campo electromagnético y viceversa.

Algunos tipos de energía mecánica son:

1.    Energía hidráulica: Se deja caer agua y se aprovecha la energía potencial obtenida. Se utiliza para generar energía eléctrica y para movermolinos de harina.

2.    Energía eólica: Producida por los vientos generados en la atmósfera terrestre. Se utiliza para generar energía eléctrica, como mecanismo de extracción de aguas subterráneas o de ciertos tipos de molinos para la agricultura.

3.    Energía mareomotriz: Producto del movimiento de las mareas y las olas del mar. Se transforma en energía eléctrica.

 

 

 

 

Los carros de una montaña rusa alcanzan su máxima energía potencial gravitacional en la parte más alta del recorrido. Al descender, ésta es convertida en energía cinética, la que llega a ser máxima en el fondo de la trayectoria (y la energía potencial mínima). Luego, al volver a elevarse debido a la inercia del movimiento, el traspaso de energías se invierte. Si se asume una friccióninsignificante, la energía total del sistema permanece constante.

En un sistema físico, la energía potencial es energía que mide la capacidad que tiene dicho sistema para realizar trabajo en función exclusivamente de su posición o configuración. Puede pensarse como la energía almacenada en el sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar.

Más rigurosamente, la energía potencial es una magnitud escalar asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campo tensorial de tensiones). Cuando la energía potencial está asociada a un campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A.

 

Contenido ·         1 Energía potencial asociada a campos de fuerzas o    1.1 Energía potencial gravitatoria o    1.2 Energía potencial electrostática ·         2 Energía potencial elástica ·         3 Véase también

La energía potencial puede definirse solamente cuando la fuerza es conservativa. Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son "no conservativas" entonces no se puede definir la energía potencial, como se verá a continuación. Una fuerza es conservativa cuando se cumple alguna de las siguientes propiedades:

§ El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del camino recorrido.

§ El trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo.

§ Cuando el rotor de la fuerza es cero.

Se puede demostrar que todas las propiedades son equivalentes (es decir, que cualquiera de ellas implica la otra). En estas condiciones, la energía potencial se define como:

 

Obviamente si las fuerzas no son conservativas no existirá en general una manera unívoca de definir la anterior integral. De la propiedad anterior se sigue que si la energía potencial es conocida, se puede obtener la fuerza a partir del gradiente de U:

 

También puede recorrerse el camino inverso: suponer la existencia una función energía potencial y definir la fuerza correspondiente mediante la fórmula anterior. Se puede demostrar que toda fuerza así definida es conservativa.

Evidentemente, la forma funcional de la energía potencial depende de la fuerza de que se trate; así, para el campo gravitatorio (o eléctrico), el resultado del producto de las masas (o cargas) por una constante dividido por la distancia entre las masas (cargas), por lo que va disminuyendo a medida que se incrementa dicha distancia.

Energía potencial gravitatoria

La fuerza gravitatoria mantiene a los planetas en órbita en torno al sol

Este tipo de energía está asociada con el grado de separación entre dos cuerpos, los cuales se atraen mediante fuerza gravitacional.

§ Caso general. La energía potencial gravitatoria V_G de una partícula material de masa m situada dentro del campo gravitatorio terrestre viene dada por:

 

Donde:

, distancia entre la partícula material y el centro de la Tierra.

, constante universal de la gravitación.

, masa de la Tierra.

Esta última es la fórmula que necesitamos emplear, por ejemplo, para estudiar el movimiento de satélites y misiles balísticos:

§ Cálculo simplificado. Cuando la distancia recorrida por un móvil h es pequeña, lo que sucede en la mayoría de las aplicaciones usuales (tiro parabólico, saltos de agua, etc.), podemos usar el desarrollo de Taylor a la anterior ecuación. Así si llamamos r a la distancia al centro de la tierra, R al radio de la Tierra y h a la altura sobre la superficie de la Tierra tenemos:

Donde hemos introducido la aceleración sobre la superfice:

 Por tanto la variación de la energía potencial gravitatoria al desplazarse un cuerpo de masa m desde una altura h₁ hasta una altura h₂ es:

 Dado que la energía potencial se anula cuando la distancia es infinita, frecuentemente se asigna energía potencial cero a la altura correspondiente a la del suelo, ya que lo que es de interés no es el valor absoluto de V, sino su variación durante el movimiento.

Así, si la altura del suelo es h₁ = 0, entonces la energía potencial a una altura h₂ = h será simplemente V_G = mgh.

Energía potencial electrostática

La energía potencial electrostática de un sistema formado por dos partículas de cargas q y Q situadas a una distancia r una de la otra es igual a:

 

Siendo K una constante universal o constante de Coulomb cuyo valor aproximado es 9*10⁹ (voltiosmetro/culombio).·

Una definición de energía potencial eléctrica sería la siguiente: cantidad de trabajo que se necesita realizar para acercar una carga puntual de masa nula con velocidad constante desde el infinito hasta una distancia r de una carga del mismo signo, la cual utilizamos como referencia. En el infinito la carga de referencia ejerce una fuerza nula.

La energía elástica o energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

§ Potencial armónico (caso unidimensional), dada una partícula en un campo de fuerzas que responda a la ley de Hooke (F= -k|r|) siendo k la constante de dicho campo, su energía potencial será V = 1/2 K |r|².

§ Energía de deformación (caso lineal general), en este caso la función escalar que da el campo de tensiones es la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen f que representa la energía de deformación. Para un sólido elástico lineal e isótropo, la energía potencial elástica en función de las deformaciones ε_ij y la temperatura la energía libre de un cuerpo deformado viene dada por:

Donde   son constantes elásticas llamadas coeficientes de Lamé, que pueden depedender de la temperatura, y están relacionadas con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson mediante las relaciones algebraicas:

 

A partir de esta expresión (1) del potencial termodinámico de energía libre pueden obtenerse las tensiones a partir de las siguientes relaciones termodinámicas:

 

Estas últimas ecuaciones se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke y escritas más explícitamente en forma matricial tienen la forma:

 

Donde

 

§ Energía de deformación (caso no-lineal general), en el caso de materiales elásticos no-lineales la energía de deformación puede definirse sólo en el caso de materiales hiperelásticos. Y en ese caso la energía elástica está estrechamente relacionada con el potencial hiperplástico a partir de la cual se deduce la ecuación constitutiva.