Resonancia
La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia.
Se define la frecuencia natural de un oscilador como la que tendría si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor.
El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema, es decir, w = w o. En esta situación d = p /2.
En esta imagen se observa una gráfica que representa la amplitud frente a la frecuencia de un oscilador amortiguado cuando se encuentra presente una fuerza impulsora periódica. Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural, w o, aparece la resonancia. Se observa que la forma de la curva de resonancia depende del valor del coeficiente de amortiguamiento, b.
La cantidad media de energía absorbida en un ciclo es igual a la potencia media producida por la fuerza impulsora. En la figura se muestra un diagrama de la potencia media transmitida a un oscilador en función de la frecuencia de la fuerza impulsora o externa para dos valores diferentes de amortiguamiento (y por tanto de Q).
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Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia. Cuando el amortiguamiento es pequeño (el valor de Q es alto), la potencia consumida en la resonancia es mayor y la resonancia es más aguda; es decir, la curva de resonancia es más estrecha, lo que quiere decir que la potencia suministrada es grande sólo cerca de la frecuencia de resonancia. Cuando el amortiguamiento es grande (el valor de Q es pequeño), la curva de resonancia es más achatada y la potencia suministrada toma valores más para w diferentes de la de resonancia.
Para amortiguamientos relativamente pequeños, el cociente entre la frecuencia de resonancia w o y la anchura total a la mitad del máximo D w es igual al factor Q (que ya se definió en oscilaciones amortiguadas):
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Por tanto, el factor Q nos indica directamente si la resonancia es aguda o no y en qué medida lo es.
En resumen, cuando se está en resonancia:
· la amplitud del oscilador es máxima;
· la energía absorbida por el oscilador es máxima;
· la constante de fase d = p /2;
· la velocidad está en fase con la fuerza impulsora como se observa al operar:
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según esto, el oscilador siempre se está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora, por lo que se consigue el máximo aporte de energía.
* Resonancia e incertidumbre
Hemos visto que la amplitud de un oscilador armónico impulsado y amortiguado tiene un pico de resonancia. También hemos visto que el oscilador armónico amortiguado, sin impulsión, tiene un tiempo de decaimiento característico. Estos fenómenos se relacionan estrechamente, y esa relación tiene consecuencias importantes sobre nuestra capacidad de construcción de sistemas con resonancias, como sintonizadores, o filtros de radio para eliminar el ruido electrónico.
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La ecuación permite obtener la rapidez a la cual se disipa la energía en un oscilador amortiguado no impulsado. La energía es proporcional a la amplitud al cuadrado y, por
consiguiente, decrece de acuerdo con es la vida media. La vida media determina el decaimiento debido al amortiguamiento. El ancho de frecuencias del oscilador armónico forzado está representado por la ecuación, y vemos que es inversamente proporcional a t . De acuerdo con las ecuaciones anteriores, tenemos que
t w D es del orden de 1.
A esta ecuación se le conoce como principio de incertidumbre; expresa la posibilidad de medir efectos físicos que sean arbitrariamente precisos, tanto en tiempo como en frecuencia. Hablando con propiedad, sólo lo hemos deducido para una fuerza especial de amortiguamiento. Pero en realidad representa una propiedad muy general. Afirma que si el tiempo de amortiguamiento de un oscilador es grande, entonces el ancho de resonancia es pequeño, y viceversa. Cuanto más débil es el amortiguamiento de un oscilador armónico, con más definición responde a, o selecciona, una fuerza de impulsión armónica de la frecuencia adecuada. Veremos el significado de este resultado en un ejemplo.